记录自动控制原理的核心概念、方法。

闭环控制

闭环控制系统

图1 闭环控制系统

图1所示闭环反馈控制系统包括了三种类型的输入信号和一个输出信号$Y(s)$，其中输入信号包括参考输入$R(s)$、干扰信号$T_d(s)$和测量误差$N(s)$。定义偏差信号，即跟踪误差信号为

$$E(s)=R(s)-Y(s) \tag{1}$$

令$H(s)=1$，则图1所示闭环系统的输出$Y(s)$为

$$Y(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}R(s)+\frac{G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)-\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s) \tag{2}$$

将式(1)代入式(2)，则跟踪误差信号$E(s)$为

$$E(s)=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)+\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s) \tag{3}$$

定义开环增益$L(s)$为

$$L(s)=G_c(s)G(s) \tag{4}$$

定义灵敏度函数$S(s)$为

$$S(s)=\frac{1}{1+L(s)} \tag{5}$$

定义补灵敏度函数$C(s)$为

$$C(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)} \tag{6}$$

初值定理

在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的频域表达式与时域行为建立联系的定理。令

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^dt$$

为 $ƒ(t)$ 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明

$$\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$$

在数学分析中，终值定理（Final Value Theorem, FVT）是将时间趋于无穷时的时域表达式与频域行为建立联系的许多定理之一。终值定理允许直接对频域表达式取极限来计算时域行为，无需先转换到时域表达式再取极限。

在数学上，如果

$$\lim _{t\to \infty }f(t)$$

有一个有限极限，那么

$$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$$

其中 $F(s)$ 为 $f(t)$ 的（单边）拉普拉斯变换。

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系统稳定程度的一种方法。

相位裕度（phase margin, PM）是另一种衡量系统稳定程度的方法。