在数学中，傅里叶级数（Fourier series）能将任何周期函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数）。傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。

傅里叶级数公式

傅里叶级数的公式：

$$
f(t) =\frac{a_{0}}{2}+a_{1}cos(\omega t)+b_{1}sin(\omega t) \
+a_{2}cos(2\omega t)+b_{2}sin(2\omega t) +…\
=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]} \tag{1}
$$

其中：
$$
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(n\omega t)dt \tag{2}
$$
$$
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(n\omega t)dt \tag{3}
$$

傅里叶级数的收敛性

若傅里叶级数不收敛于$f(t)$，则不能在两者之间画等号。关于傅里叶级数的收敛性，最常用的为狄利克雷条件：

对于一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$，如果它满足：

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；

（2）在一个周期内只有有限个极值点。

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛于$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。

狄利克雷条件只是傅里叶级数收敛的充分条件，而非必要条件，级数收敛不代表该条件成立。

下面给出一个周期函数的傅里叶级数的计算示例。

周期为$2\pi$的函数$f(x)$，在$(-\pi,\pi)$上$f(x)=x$，求$f(x)$的傅里叶级数。

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\mathrm{cos}nx\mathrm{d}x=0$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\mathrm{sin}nx\mathrm{d}x=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$$

狄利克雷条件显然成立，所以

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}\mathrm{sin}nx$$

傅里叶级数的指数形式

令$i$表示虚数单位，傅里叶级数的指数形式为:

$$f(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_ne^{in\omega t}$$

其中,

$$c_n=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t$$

指数形式与三角形式是相等的，推导如下:

$$\begin{aligned}
&\quad\sum^{\infty}{n=-\infty}c_ne^{in\omega t}\
&=c_0+\sum^{\infty}{n=1}(c_ne^{in\omega t}+c_{-n}e^{-in\omega t}） \
&=c_0+\sum^{\infty}{n=1}[(c_n+c{-n})\mathrm{cos}n\omega t+i(c_n-c_{-n})\mathrm{sin}n\omega t] \
&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \mathrm{cos}n \omega t+b_n \mathrm{sin}n \omega t)
\end{aligned}
$$

傅里叶变换

傅里叶变换是傅里叶级数在非周期函数上的推广。对非周期函数$f(x)$，其周期$T\rightarrow\infty$。因为$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$，则$\omega_0\rightarrow0$。

观察傅里叶级数的指数形式

$$f(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_ne^{in\omega t} \tag{1}$$

其中,

$$c_n=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm{d}t \tag{2}$$

当 $\omega_0\rightarrow0$ 时， $n\omega_0$ 从原本的离散变化变成了连续变化， $c_n$ 也就可以表示为关于 $n\omega_0$ 的函数 $F(n\omega_0)$ 。

傅里叶级数中公式（2）的积分的上下限不一定是$0$到$T$，只需要$f(t)$的一个周期就可以了。即对于任意的$x_0$, 公式(2)可表示为：

$$c_n=\frac{1}{T}\int^{x_0+T}_{x_0}f(t)e^{-in\omega_0 t}\mathrm{d}t \tag{3}$$

这个积分需要积一整个周期，而此时的周期为无穷大，也就是整个定义域上都需要积，所以要从$-\infty$积分到$\infty$。

只需要让上式中的 $T\rightarrow\infty$ ， $\omega_0\rightarrow0$ ，便可以得到 $F(n\omega_0)$ 的表达式。不妨令 $\omega=n\omega_0$ ，就得到了

$$F(\omega)=\frac{1}{T}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t \tag{4}$$

由于$\frac{1}{T}\rightarrow0$，我们先丢弃$\frac{1}{T}$，之后用到$F(\omega)$在乘回来，于是令：

$$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t \tag{5}$$

将公式（5）代入公式（1），并代入$\frac{1}{T}=\frac{\omega_0}{2\pi}$，则有：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty}F(n\omega_0)e^{in\omega_0 t}\omega_0 \tag{6}$$

因为 $\omega=n\omega_0$ ，每次 $\omega$ 的增量 $d\omega$ 都是由于 $n$ 变为 $n+1$ 造成的，所以

$$\mathrm{d}\omega=(n+1)\omega_0-n\omega_0=\omega_0$$

同时 $n\omega_0$ 连续变化，原本的离散意义下的求和就该变为连续意义下的积分，于是公式（6）变形为：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \tag{7}$$

至此得到傅里叶变换的两个公式：

$$F(\omega)=ℱ[f(t)]=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$$

$$f(t)=ℱ^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$

傅里叶变换条件

由于傅里叶变换是从傅里叶级数推导得来的，所以还是狄利克雷条件，不过此时还要加上第三条， $f(t)$ 在一个周期内绝对可积。

这一个条件在 $f(t)$ 为周期函数时，可以由前两个条件推出来，因为周期和函数值均为有限值，所以在一个周期内一定绝对可积。但是推广到傅里叶变换后，这个推导就不成立了，需要单独判定第三个条件。

傅里叶级数和变换学习笔记

傅里叶级数公式

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的指数形式

傅里叶变换

傅里叶变换条件

参考链接